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2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

发布时间:2012-02-16  |  发文作者:admin  |  点击数:[]
数学(理科)
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
1、 答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积,h为柱体的高
线性回归方程中系数计算公式
其中表示样本均值。
N是正整数,则

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数满足,其中为虚数单位,则=
A. B. C. D.
2.已知集合为实数,且为实数,且,则的元素个数为
A.0    B.1    C.2     D.3
3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则
A.4    B.3     C.2      D.0
4. 设函数分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
A.是偶函数           B.是奇函数
C.是偶函数           D.是奇函数
5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若上的动点,点的坐标为,则的最大值为
A.     B.       C.4      D.3
6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
A.     B.       C.      D.
7. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为





A. B. C. D.
8.设S是整数集Z的非空子集,如果,则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集,,则下列结论恒成立的是
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
(一)必做题(9-13题)
9. 不等式的解集是 .
10. 的展开式中,的系数是 (用数字作答)
11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,则k=____________.
12. 函数在x=____________处取得极小值。
13. 某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为,它们的交点坐标为___________.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点分别作圆的切线
和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,
=∠, 则= 。



三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(1) (本小题满分12分)
已知函数
(1)求的值;
(2)设的值.

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。

18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,
且∠DAB=60,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明:AD 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.


19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.
20.(本小题共14分)
设b>0,数列满足a1=b,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,

21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记
(1)过点作L的切线教y轴于点B. 证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有
(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b) X;
(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求的最小值 (记为)和最大值(记为).

2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B C D A C D B A
二、填空题
9. ; 10. 84; 11. 10; 12. 2; 13. 185;
14. ; 15. 
三、解答题
16.解:(1);
(2),又


.
17.解:(1)乙厂生产的产品总数为
(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为
(3)的分布列为
0 1 2
均值.
18.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,
由题意知ΔABC是等边三角形,
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,




(2) 由(1)知为二面角的平面角,
中,;在中,
中,.
19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为
由题意得

可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则
,所以轨迹L的方程为
(2)∵,仅当时,取"=",
知直线,联立并整理得解得,此时
所以最大值等于2,此时
20.解(1)法一:,得
,则
(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
,∴
(ⅱ)当时,设,则
,得
是等比数列,,又

法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
,∴
(ⅱ)当时,
猜想,下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想显然成立;
②假设当时,,则

所以当时,猜想成立,
由①②知,
(2)(ⅰ)当时, ,故时,命题成立;
(ⅱ)当时,

,以上n个式子相加得




.故当时,命题成立;
综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.


21.解:(1)
直线AB的方程为,即
,方程的判别式
两根
,又
,得

(2)由知点在抛物线L的下方,
①当时,作图可知,若,则,得
,显然有点
②当时,点在第二象限,
作图可知,若,则,且
,显然有点

根据曲线的对称性可知,当时,
综上所述,(*);
由(1)知点M在直线EF上,方程的两根
同理点M在直线上,方程的两根
,则不比小,
,又
;又由(1)知,
,综合(*)式,得证.
(3)联立得交点,可知
过点作抛物线L的切线,设切点为,则
,解得
,即
,设
,又


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2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)
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数学(理科)
本试题共4页,21小题,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
1、 答卷前,考生务必用黑色自己的钢笔或签字笔将自己的姓名、和考生号、试室号、座位号,填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2、 选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3、 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求做大的答案无效。
4、 作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。
5、 考生必须保持答题卡得整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
参考公式:柱体的体积公式 V=Sh其中S为柱体的底面积,h为柱体的高
线性回归方程中系数计算公式
其中表示样本均值。
N是正整数,则

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 设复数满足,其中为虚数单位,则=
A. B. C. D.
2.已知集合为实数,且为实数,且,则的元素个数为
A.0    B.1    C.2     D.3
3. 若向量a,b,c满足a∥b且a⊥b,则
A.4    B.3     C.2      D.0
4. 设函数分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是
A.是偶函数           B.是奇函数
C.是偶函数           D.是奇函数
5. 在平面直角坐标系上的区域由不等式组给定。若上的动点,点的坐标为,则的最大值为
A.     B.       C.4      D.3
6. 甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要在赢一次就获冠军,乙队需要再赢两局才能得冠军,若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为
A.     B.       C.      D.
7. 如图1-3,某几何体的正视图(主视图)是平行四边形,侧视图(左视图)和俯视图都是矩形,则该几何体的体积为





A. B. C. D.
8.设S是整数集Z的非空子集,如果,则称S关于数的乘法是封闭的. 若T,V是Z的两个不相交的非空子集,,则下列结论恒成立的是
A. 中至少有一个关于乘法是封闭的
B. 中至多有一个关于乘法是封闭的
C. 中有且只有一个关于乘法是封闭的
D. 中每一个关于乘法都是封闭的
16. 填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分。
(一)必做题(9-13题)
9. 不等式的解集是 .
10. 的展开式中,的系数是 (用数字作答)
11. 等差数列前9项的和等于前4项的和. 若,则k=____________.
12. 函数在x=____________处取得极小值。
13. 某数学老师身高176cm,他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm、170cm和182cm .因儿子的身高与父亲的身高有关,该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为_____cm.

(二)选做题(14 - 15题,考生只能从中选做一题)
14.(坐标系与参数方程选做题)已知两面线参数方程分别为,它们的交点坐标为___________.
15.(几何证明选讲选做题)如图4,过圆外一点分别作圆的切线
和割线交圆于,,且=7,是圆上一点使得=5,
=∠, 则= 。



三.解答题。本大题共6小题,满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。
(1) (本小题满分12分)
已知函数
(1)求的值;
(2)设的值.

17. 为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件,测量产品中的微量元素x,y的含量(单位:毫克).下表是乙厂的5件产品的测量数据:
编号 1 2 3 4 5
x 169 178 166 175 180
y 75 80 77 70 81
(1)已知甲厂生产的产品共有98件,求乙厂生产的产品数量;
(2)当产品中的微量元素x,y满足x≥175,且y≥75时,该产品为优等品。用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量;
(3)从乙厂抽出的上述5件产品中,随机抽取2件,求抽取的2件产品中优等品数的分布列极其均值(即数学期望)。

18.(本小题满分13分)
如图5.在椎体P-ABCD中,ABCD是边长为1的棱形,
且∠DAB=60,PB=2,
E,F分别是BC,PC的中点.
(1) 证明:AD 平面DEF;
(2) 求二面角P-AD-B的余弦值.


19.(本小题满分14分)
设圆C与两圆中的一个内切,另一个外切。
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;
(2)已知点M,且P为L上动点,求的最大值及此时点P的坐标.
20.(本小题共14分)
设b>0,数列满足a1=b,.
(1)求数列的通项公式;
(2)证明:对于一切正整数n,

21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy上,给定抛物线L:.实数p,q满足,x1,x2是方程的两根,记
(1)过点作L的切线教y轴于点B. 证明:对线段AB上任一点Q(p,q)有
(2)设M(a,b)是定点,其中a,b满足a2-4b>0,a≠0. 过M(a,b)作L的两条切线,切点分别为与y轴分别交与F,F'。线段EF上异于两端点的点集记为X.证明:M(a,b) X;
(3)设D={ (x,y)|y≤x-1,y≥(x+1)2-}.当点(p,q)取遍D时,求的最小值 (记为)和最大值(记为).

2011年广东高考理科数学参考答案
一、选择题
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B C D A C D B A
二、填空题
9. ; 10. 84; 11. 10; 12. 2; 13. 185;
14. ; 15. 
三、解答题
16.解:(1);
(2),又


.
17.解:(1)乙厂生产的产品总数为
(2)样品中优等品的频率为,乙厂生产的优等品的数量为
(3)的分布列为
0 1 2
均值.
18.解:(1) 取AD的中点G,又PA=PD,
由题意知ΔABC是等边三角形,
又PG, BG是平面PGB的两条相交直线,




(2) 由(1)知为二面角的平面角,
中,;在中,
中,.
19.解:(1)两圆半径都为2,设圆C的半径为R,两圆心为
由题意得

可知圆心C的轨迹是以为焦点的双曲线,设方程为,则
,所以轨迹L的方程为
(2)∵,仅当时,取"=",
知直线,联立并整理得解得,此时
所以最大值等于2,此时
20.解(1)法一:,得
,则
(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
,∴
(ⅱ)当时,设,则
,得
是等比数列,,又

法二:(ⅰ)当时,是以为首项,为公差的等差数列,
,∴
(ⅱ)当时,
猜想,下面用数学归纳法证明:
①当时,猜想显然成立;
②假设当时,,则

所以当时,猜想成立,
由①②知,
(2)(ⅰ)当时, ,故时,命题成立;
(ⅱ)当时,

,以上n个式子相加得




.故当时,命题成立;
综上(ⅰ)(ⅱ)知命题成立.


21.解:(1)
直线AB的方程为,即
,方程的判别式
两根
,又
,得

(2)由知点在抛物线L的下方,
①当时,作图可知,若,则,得
,显然有点
②当时,点在第二象限,
作图可知,若,则,且
,显然有点

根据曲线的对称性可知,当时,
综上所述,(*);
由(1)知点M在直线EF上,方程的两根
同理点M在直线上,方程的两根
,则不比小,
,又
;又由(1)知,
,综合(*)式,得证.
(3)联立得交点,可知
过点作抛物线L的切线,设切点为,则
,解得
,即
,设
,又


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